Soluções e teorema H para uma família de equações de Fokker-Planck generalizadas

Abstract

Resumo: Este trabalho é direcionado ao estudo de uma equação de Fokker-Planck não linear. Nessa direção, começamos fazendo uma breve revisão de alguns processos difusivos: o usual, o de Richardson, o de meios porosos e um que interpola os dois últimos. Nesse estudo, o foco é dado em soluções temporais concentradas na origem do sistema de coordenadas no instante inicial e em soluções estacionárias. Investigamos também uma situação inversa, isto é, partimos de uma distribuição dependente do tempo e chegamos a uma equação de Fokker-Planck que tem esta função como solução. Essa distribuição possui um comportamento de lei de potência próximo à origem das coordenadas e contém várias distribuições conhecidas como casos especiais. Após o cálculo de norma e de momentos dessa distribuição generalizada, identificamos um rico cenário difusivo. Além disso, exibimos uma equação de Fokker-Planck não linear mais geral que inclui as até então consideradas por nós como casos particulares. Supondo uma força externa confinante, obtemos a solução estacionária dessa equação em termos de um potencial efetivo. Para essa equação geral, estudamos ainda uma evolução das soluções temporais com o auxílio de um teorema H e verificamos que ele é consistente com mais de uma possibilidade para forma entrópica e energia interna. Em particular, as formas entrópicas estão relacionadas com a de Tsallis. Uma delas, cuja otimização é consistente com a solução estacionária, pode ser associada com uma generalização da divergência de Kullback-Leibler.

Abstract: This work is directed to a study of a nonlinear Fokker-Planck equation. In this direction, we begin with a brief review of the usual diffusive process, Richardson one, porous media one and an additional one that interpolates the last two. In this study, the focus is given on temporal solutions concentrated in the origin of the coordinate system at the initial instant and on stationary solutions. We also investigate an inverse situation, that is, we start from a time-dependent distribution and arrive at a Fokker-Planck equation that has this function as a solution. This distribution has a power law behavior close to the origin of the coordinates and contains several well-known distributions as special cases. After calculating the norm and moments of this generalized distribution, we identify a rich diffusive scenario. Moreover, we exhibit a more general nonlinear Fokker-Planck equation that contains those considered by us as particular cases. Assuming a confining external force, we obtain the stationary solution of this equation in terms of an effective potential. For this general equation, we also study an evolution of temporal solutions with the help of an H theorem and verify that it is consistent with more than one possibility for entropic form and internal energy. In particular, the entropic forms are related to the Tsallis one. One of them, whose optimization is consistent with the stationary solution, can be associated with a generalization of the Kullback-Leibler divergence.