Equações de Fokker-Planck, formas entrópicas, exponenciais e logaritimos generalizados

Abstract

Resumo: Este trabalho possui como foco o estudo de três aspectos distintos e entrelaçados de mecânica estatística generalizada. São eles, formas entrópicas, equações de Fokker-Planck, exponenciais e logaritmos generalizados. Iniciamos o estudo apresentando conceitos fundamentais sobre a mecânica estatística usual, sendo o primeiro a entropia de Boltzmann-Gibbs e algumas das suas características, seguida pela equação de Fokker-Planck usual, fazendo um estudo sobre sua solução estacionária e relacionando com um teorema-H. Seguimos com um estudo sobre a mecânica estatística de Tsallis. Nesse contexto, consideramos uma forma entrópica que generaliza a de Boltzmann-Gibbs, a entropia de Tsallis. Também apresentamos a q-exponencial e o q-logaritmo que permitem a generalização das operações algébricas usuais. Ainda no contexto de Tsallis, mostramos que esse formalismo está conectado com uma equação de Fokker-Planck não linear. A partir dessas duas mecânicas estatísticas, exibimos um novo formalismo de equações de Fokker-Planck, tanto lineares quanto não lineares, analisando principalmente sua solução estacionária que nos permite definir uma generalização de exponenciais mais abrangentes. Nessa linha, vemos como podemos definir uma forma entrópica generalizada que possui a distribuição de máxima entropia relacionada à solução estacionária da equação de Fokker-Planck, permitindo um formalismo que conecta os três conceitos apresentados (equações de Fokker-Planck, formas entrópicas e exponenciais generalizadas). Ressalta-se também que esses conceitos encontram uma nítida conexão via um teorema-H. Introduzimos ainda uma álgebra generalizada a partir dessas exponenciais, de forma análoga ao visto na vertente de Tsallis. Essa álgebra é ilustrada em três cenários: estatística de Tsallis, estatística de Kaniadakis e exponencial alongada.

Abstract: This work has as main focus three distinct but intertwined aspects that compose features of generalized statistical mechanics, namely, entropic forms, Fokker-Planck equations, generalized exponentials, and logarithms. We start the study by presenting some fundamental concepts of usual statistical mechanics. Firstly, the Boltzmann-Gibbs entropic form and some of its characteristics, then we briefly discuss the usual Fokker-Planck equa-tion, particularly, its stationary solutions, relating them via an H-theorem. We follow by studying the Tsallis generalization of statistical mechanics. In this context, we present an entropic form that inspire the definition of q-exponentials and g-logarithms. These functions allow for a generalization of the basic algebraic operations. Still in the context of Tsallis statistics, we show how this formalism is related to a nonlinear Fokker-Planck equation. After the exhibition of these distinct statistical mechanics, we investigate a new formalism of a generalization of Fokker-Planck equations, that include both linear and nonlinear forms, mainly focusing on its stationary solution, that allows us to define a new family of generalized exponentials. In this line of reasoning, we propose a new generalized entropic form that is related to the stationary solution of Fokker-Planck equations when the maximum entropy principle is used. These generalized concepts, will also be connected via an H-theorem. We introduce a new generalized algebra associated with the generalized exponentials, analogous to the one in the Tsallis context. This algebr is exemplified in three different scenarios: Tsallis statistics, Kaniadakis statistics, an stretched exponential.