Estudo da evolução temporal do comprimento característico em cristais líquidos nemáticos usando o modelo de Landau-de-Gennes

Abstract

Resumo: Este trabalho utilizou métodos numéricos para mostrar a evolução temporal de um cristal líquido, resolvendo um sistema de cinco equações acopladas que não possuem solução analítica. A partir desses resultados foi feita uma medida da função de autocorrelação para cada passo temporal dessa simulação. Aplicando a transformada de Fourier da au-tocorrelação pode se obter o fator de estrutura, onde uma variável passa do espaço usual para o espaço dos números de onda (E). A média dos resultados nos ajuda a mensurar a evolução temporal de uma grandeza, que leva o nome de comprimento característico, e faz uma média das distâncias e tamanhos dos defeitos topológicos de uma série de sistemas de cristais líquidos do tipo nemático, com variações de temperaturas diferentes. A partir dessa dinâmica obteve-se a inclinação de cada reta para cada variação de temperatura. O modelo apresentado mostra a evolução da ordem orientacional do cristal líquido por meio de um tensor de segunda ordem simétrico e com traço nulo. Utilizando esse tensor é realizada a descrição das densidades de energia envolvidas tanto na formação dos defeitos quanto na perturbação de um diretor. Para uma boa resolução das equações presentes, foram combinados dois algoritmos. A diferença finita pra calcular as derivadas espaciais com a integração temporal de Runge-Kutta para resolver as equações de relaxamento ne-matodinâmicas, sem a presença de flutuações térmicas e fluxos hidrodinâmicos. Por meio do programa, foi feito uma análise na dinâmica do comprimento característico de um cristal líquido nemático uniaxial. Alguns métodos foram testados para realizar esse cálculo. Alguns deram resultados próximos ao esperado, outros nem tanto. O que a literatura nos apresenta é que essa dinâmica respeita uma lei de potência temporal L o tª, com a = 1/2. Testando diferentes maneiras para calcular essa dinâmica constatou-se que alguns deles podem apresentar resultados nada satisfatórios, como nos casos em que se utilizou o parametro de ordem escalar uniaxial. Os melhores resultados foram obtidos por meio da utilização do parâmetro de ordem tensorial, calculando-se então valor médio do seu vetor de onda no espaço de Fourier ou o valor médio do vetor de onda no espaço de Fourier ao quadrado. A partir daqui, os métodos não precisos foram ignorados. Foi verificado que para sistemas 2D as inclinações variaram de 0,48 a 0,5 antes da formação dos defeitos, a depender do método utilizado e de 0,33 a 0,95 depois da formação. No sistema 3D, a variação ocorreu de 0,48 a 0,50 antes da formação.

Abstract: This work made use of numerical methods to show the time evolution of a liquid crystal, solving a system of five coupled equations that do not have an analytical solution. From these results, a measure of the autocorrelation function was made for each time step of this simulation, taking the Fourier transform of the autocorrelation to obtain the structure factor, a variable passing from the usual space to the space of wave numbers (Veck), its average helps us to measure the temporal evolution of a quantity called characteristic length, which averages the distances and sizes of the topological defects of a series of nematic-type liquid crystal systems with different temperature variations. From this dy-namics, the slope of each straight line was obtained for each temperature variation. The model presented shows the evolution of the orientational order of the liquid crystal through a symmetrical second-order tensor with zero trace. Using this tensor, the description of the energy densities involved both in the phase transition and in the perturbation of a director is performed. For a good resolution of the present equations, a finite difference algorithm was combined to calculate the spatial derivatives with the Runge-Kutta temporal integration to solve the nematodynamic relaxation equations, without the presence of thermal fluctuations and hydrodynamic flows. Through the program, an analysis was made on the dynamics of the characteristic length of a uniaxial nematic liquid crystal. Some methods have been tested to perform this calculation. Some gave results close to expectations, others not so much. What the literature shows us is that this dynamic respects a temporal power law I a ta, with a = 1/2. Testing different ways to calculate this dynamics, it was found that some of them may present unsatisfactory results, as in the cases in which the uniaxial scalar order parameter was used. The best results were obtained by using the tensor order parameter, then calculating the average value of its wave vector in Fourier space or the average value of the wave vector in Fourier space squared. From here, non-accurate methods were ignored. It was then verified that for 2D systems, the slopes ranged from 0.48 to 0.5 before the phase transition, depending on the method used, and from 0.33 to 0.95 after the transition. In the 3D system, the variation occurred from 0.48 to 0.50 before the transition.