Estocasticidade e percolação em modelos epidêmicos espaciais

Abstract

Resumo: Neste trabalho, é estudada a família de modelos epidêmicos SIR deterministas, que descrevem a dinâmica infecciosa de propagação de uma doença numa população por um conjunto de equações diferenciais ordinárias com uso do princípio da lei de ação das massas para simular o contato entre os indivíduos de forma global, separados em compartimentos com respeito ao status dos mesmos em relação à doença estudada, cujo nome do modelo é usualmente um acrônimo dos compartimentos usados, como SIR (Suscetível-Infectado-Recuperado). Foram obtidas as soluções numéricas destes modelos pelo método de Runge-Kutta de quarta ordem, e seus respectivos números de reprodução básicos Ro, principal indicador de um surto epidêmico, pelo método da matriz de próxima geração. Estudou-se, também, variações do SIR determinista pautadas em equações diferenciais parciais, que levam em conta o caráter espacial deste fenômeno epidêmico com a introdução de termos difusivos no conjunto de equações do modelo, estendendo-o, em seguida, para considerar uma dinâmica difusiva que resulta na formação de padrões espaciais, chamados de padrões de Turing, por meio da equação de reação-difusão. Analisou-se, posteriormente, a aplicação de modelos epidêmicos em uma estrutura espacial organizada chamada de rede quadrada, o qual tiveram sua dinâmica determinista adaptada estocasticamente, dando surgimento a um sistema chamado de individual-based model, que substitui a interação global dada pela lei de ação das massas por interações locais individuais. Subsequentemente, empregou-se estes modelos esto-cásticos para a análise da percolação na rede quadrada, efeito caracterizado pela capacidade de um fluido, objeto ou fenômeno de atravessar por completo meios materiais ou espaciais, formando um caminho contínuo entre extremidades opostas do meio utilizado. Identificou-se o ponto crítico do modelo SIR usual e de um modelo vacinal chamado SIV (Suscetível-Infectado-Vacinado), com este ponto sendo responsável pela transição de fase que permite extrair a probabilidade de um surto ultrapassar as fronteiras de uma região, permitindo assim determinar uma lei de potência associada a este fenômeno. O algoritmo responsável por produzir estes resultados está disponível no repositório da plataforma GitHub pelo URL https://github.com/ahdn913/Mestrado_Adriano_Neves/tree/main

Abstract: In this work, the family of deterministic SIR epidemic models is studied, which describe the infectious dynamics of the spread of a disease in a population by a set of ordinary differential equations using the principle of the law of mass action to simulate contact between individuals globally, separated into compartments with respect to their status regarding the disease studied. The model name is usually an acronym of the compartments used, such as SIR (Susceptible-Infected-Recovered). Numerical solutions of these models were obtained by the fourth-order Runge-Kutta method, with their basic reproduction number Ro, the main indicator of an epidemic outbreak, beign attained by the next-generation matrix method. It was also studied variations of the deterministic SIR model based on partial differential equa-tions, which take into account the spatial character of this epidemic phenomenon with the introduction of diffusive terms in the set of equations of the model, then extending it to consider a diffusive dynamic that results in the formation of spatial patterns, called Turing patterns, through the reaction-diffusion equation. It was analyzed the epidemic models in an organized spatial structure called square lat-tice, which had its deterministic dynamics adapted stochastically, giving rise to a system called individual-based model, which replaces the global interaction given by the law of mass action with individual local interactions. Subsequently, these stochastic models were employed for the analysis of percolation in the square lattice, an effect characterized by the ability of a fluid, object or phenomenon to completely traverse material or spatial media, forming a continuous path between opposite ends of the medium used. The critical point of the usual SIR model and of a vaccine model called SIV (Susceptible-Infected-Vaccinated) model, with this critical point beign responsible for the phase transition that allows extracting the probability of an outbreak crossing the borders of a region, thus allowing to determine a power law associated with this phenomenon. The algorithm responsible for producing these results is available on the repository of the GitHub platform at the URL https://github.com/ahdn913/Mestrado_Adriano_Neves/tree/main