Desenvolvimento e aplicação de métodos ordinais à análise de imagens e séries temporais

Abstract

Resumo: Como consequência da notável dificuldade em definir o conceito de complexidade for-malmente, diferentes técnicas têm sido propostas para tentar quantificar a complexidade de diversos sistemas. A entropia de permutação, resultado da união de ideias de teoria de informação e análise de séries temporais não lineares, é uma medida de complexidade de séries temporais que deu origem a um conjunto de ferramentas de análise de dados coletivamente chamado de formalismo de Bandt e Pompe ou de métodos ordinais. A esse formalismo faltava, entretanto, uma implementação computacional suficientemente abrangente e na forma de código aberto. Assim, a primeira contribuição resultante desta tese é suprir essa demanda com o desenvolvimento do pacote ordpy, um módulo de funções escrito em linguagem Python. O Capítulo 1 apresenta as funções que compõem o ordpy por meio de uma revisão e replicação dos principais resultados do formalismo de Bandt e Pompe. Dentre os métodos implementados no ordpy, destacamos nossa proposta de generalização do algoritmo de redes ordinais que viabiliza o mapeamento de imagens em redes complexas. No Capítulo 2, avaliamos restrições fundamentais de conectividade para determinar a forma exata de redes ordinais mapeadas a partir de dados bidimensionais completamente aleatórios. Em seguida, aplicamos esse mapeamento a imagens geradas por simulações computacionais de ornamentos geométricos periódicos, movimento browniano fracionário bidimensional, superfícies de Ising e também a um conjunto de texturas naturais, a fim de caracterizar esses sistemas usando propriedades das redes ordinais. A robustez de redes ordinais mapeadas de imagens ruidosas é examinada em cenários de classificação de imagens. No Capítulo 3, apresentamos uma aplicação de redes ordinais para caracterizar texturas de cristais líquidos, na qual os pesos das ligações de redes ordinais são usados como variáveis preditivas junto a algoritmos de aprendizagem estatística para determinar propriedades desses materiais. Es-pecificamente, mostramos que nossa abordagem permite identificar e classificar transições de fase, determinar concentrações de dopantes e também a temperatura de amostras de cristal líquido. Por fim, no Capítulo 4, investigamos o complexo movimento que pequenos pedaços de papel exibem ao cair pelo ar. Para isso, calculamos a entropia e a complexidade de séries temporais relacionadas à área observável desses papéis em queda em diversos experimentos. Nossos resultados mostram que quedas caóticas ou em forma de tombos sucessivos estão localizadas em regiões distintas do plano complexidade-entropia. Além disso, verificamos que essas duas medidas, aliadas a um algoritmo de agrupamento, são capazes de discriminar entre os dois tipos de movimento com precisão comparável a outras abordagens baseadas em quantidades físicas mais tradicionais, com a vantagem de não requererem a reconstrução das trajetórias tridimensionais das quedas dos papéis.

Abstract: Due to the notable difficulty in formally defining complexity, different techniques have been proposed for measuring and trying to quantify the complexity of various systems. Permutation entropy, a combination of ideas stemming from information theory and nonlinear time series analysis, is a complexity measure for time series that gave origin to a set of data analysis tools collectively known as the Bandt and Pompe formalism or ordinal methods. This formalism lacked, however, a sufficiently broad and open-source computational imple-mentation. Thus, the first contribution resulting from this thesis is to reduce this gap with the development of ordpy, a Python module that implements several of the principal ordinal methods. Chapter 1 presents the functions implemented in ordpy alongside a revision and replication of some of the most important results in the Bandt and Pompe formalism. Between the methods implemented in ordpy, we highlight our proposal for a generalization of the ordinal network algorithm for mapping images into complex networks. In Chapter 2, we analyze fundamental connectivity constraints in ordinal networks to determine their topology when mapped from a bidimensional random field. Next, we apply our algorithm to images generated from computer simulations of periodic geometric ornaments, bidimen-sional fractional Brownian motion, Ising surfaces, and a set of natural textures, in order to characterize these systems using ordinal network properties. The robustness of ordinal networks mapped from noisy images is examined in image classification tasks. In Chapter 3, we present an application of ordinal networks to liquid crystals' textures in which edge weights of ordinal networks are used as predictors alongside statistical learning algorithms to determine physical properties of these complex materials. Specifically, we show that our approach can identify and classify phase transitions as well as determine doping concentration and temperature in liquid crystal samples. Finally, in Chapter 4, we investigate the complex movements displayed by slips of paper when falling through the air. To do so, we evaluate entropy and complexity from time series related to the observable area of these falling papers in several experiments. Our results show that chaotic and tumbling motions are localized in different regions of the complexity-entropy plane. Furthermore, combined with a clustering algorithm, these two metrics are capable of discriminating between the two types of movements with precision comparable to other approaches based on more traditional physical quantities, but with the advantage of not requiring the reconstruction of the three-dimensional falling trajectories.