Sistemas de controle impulsivos e ações de semigrupos : estabilidade e recursividade

Abstract

Resumo: Neste trabalho, apresentamos um estudo sobre os sistemas de controle afins impulsivos através do contexto de sistemas dinâmicos não autônomos. Essa formulação nos permite fornecer uma estrutura de semigrupo para o sistema de controle impulsivo e, portanto, podemos analisá-lo sob o ponto de vista de uma ação de semigrupo, sempre que possível. Nesse sentido, apresentamos resultados que relacionam a invariância e a estabilidade para o sistema de controle impulsivo com a invariância e a estabilidade para o sistema de controle original. Para o caso compacto, mostramos a equivalência das noções de estabilidade e também analisamos a invariância e a estabilidade de suas componentes conexas. Alem disso, caracterizamos cada tipo de estabilidade para um sistema de controle impulsivo através de um funcional de Lyapunov. Conceitos relacionados à recursividade também foram investigados neste trabalho. Apresentamos caracterizações para a estabilidade de Poisson positiva e mostramos que esse conceito se relaciona com as noções de recorrência, periodicidade, controlabilidade e pontos não vagantes. Exibimos também uma versão para o sistema de controle impulsivo do Teorema da Recorrência de Poincaré. Para encerrar esse trabalho, introduzimos a definição de uma ação de semigrupo impulsiva e exibimos resultados relacionados à invariância e estabilidade para esse tipo de ação.

Abstract: In this work, we study an impulsive control affine system in the setting of nonautonomous dynamical systems. This formulation allows us to provide a semigroup structure for the impulsive control system and hence we can deal with it by the semigroup action point of view, whenever it is possible. In this sense, we present results relating the notions of invariance and stability for the impulsive control system to the notions of invariance and stability for the original control system. For the compact case, we show the equivalence of the notions of stability and we also analyze the invariance and stability of its connected components. Furthermore, we characterize each type of stability for an impulsive control system by means of Lyapunov functionals. Concepts connected with the notion of recursiveness were also investigated in this work. We present characterizations for the positive Poisson stability and we show that this concept is related to the notions of recurrence, periodicity, controllability and nonwandering points. We also provide a version for impulsive control system of the Poincaré Recurrence Theorem. To finish this work, we introduce the definition of an impulsive semigroup action and present results on invariance and stability for this type of action.