Representações de Schur e de Schmidt de um operador bilinear compacto

Abstract

Resumo: J. R. Retherford em [12] definiu a Representação de Schur de um operador linear limitado L : H H, onde H é um espaço de Hilbert, e demonstrou que todo L compacto, autoadjunto e não nulo tem uma Representação de Schur. Seguindo este caminho, nesta tese definimos a Representação de Schur para um operador bilinear T : H × H H e mostramos que se T e compacto, autoadjunto, não nulo e os seus autovalores ordenados satisfazem certas propriedades, então T tem uma Representação de Schur, onde neste caso a hipótese dos autovalores serem ordenados e fundamental. A. Pietsch em [10] definiu a representação de Schmidt de um operador linear limitado L : H K, onde H, K são espaços de Hilbert, e demonstrou que todo L compacto e não nulo tem uma Representação de Schmidt. Definimos a Representação de Schmidt para um operador bilinear T : H1 ×H2 K e mostramos que se T é compacto, não nulo e os seus valores singulares ordenados satisfazem certas propriedades, então T tem uma representação de Schmidt.

Abstract: J.R. Retherford in [12] defined the Schur Representation of a linear operator limited L : H H, where H is a Hilbert space, and demonstrated that all L compact, self-adjoint, and nonzero has a Schur Representation. Following this path, in this thesis we define the Schur Representation for a bilinear operator T : H ×H H and show that if T is compact, self-adjoint, nonzero and its ordered eigenvalues satisfy certain properties, then T has a Schur Representation, where in this case the hypothesis of eigenvalues to be ordered is fundamental. A. Pietsch in [10] defined the Schmidt representation of a bounded linear operator L : H K, where H, K are Hilbert spaces, and demonstrated that all L compact and nonzero has a Representation of Schmidt. We define the Schmidt Representation for a bilinear operator T : H1 × H2 K and show that if T is compact, nonzero, and its ordered singular values satisfy certain properties, then T has a representation of Schmidt.