Geometria de curvas planas e singularidades de campos vetoriais

Abstract

Resumo: Neste trabalho, caracterizamos a geometria de uma determinada classe de curvas planas parametrizadas em R2, por meio dos pontos singulares de campos vetoriais associados a estas curvas. Mais precisamente, provamos que os pontos duplos, ou bitangências, ou inflexões, ou cúspides de uma dada curva, são pontos singulares de um campo F. Relacionamos o índice topológico de F, com a quantidade de pontos duplos, bitangências, inflexões e cúspides de. No caso complexo, temos uma abordagem mais algébrica, obtendo uma relação entre a multiplicidade do campo F e o número de pontos duplos, bitangências e inflexões de uma deformação da curva, tanto no caso local, quanto global. Também obtivemos relações entre invariantes bem conhecidos da teoria de singularidades, como o número de Milnor e a Ae-codimensão, e os números de inflexões e bitangências de uma deformação da curva.

Abstract: In this work, we characterize the geometry of a certain class of parametrized plane curves in R2, through the singular points of vector fields associated with these curves. More precisely, we prove that the double points, or bitangencies, or inflections, or cusps of a given curve , are singular points of a vector field F. We relate the topological index of F, with the quantities of double points, bitangencies, inflections and cusps of . In the complex case, with an algebraic approach, we obtain a relation among the multiplicity of the vector field F and the number of double points, bitangencies and inflections of a deformation of, in the local and global case. We also obtain relations among well known invariants of singularity theory, as the Milnor number and Ae-codimension, and the number of inflections and bitangencies of a deformation of the curve.