Controlabilidade para uma equação do tipo de onda semilinear

Abstract

Resumo: A presente tese tem como objetos de estudo dois problemas: 1o) uma equação semilinear do tipo de onda de sexta ordem; 2o) um sistema termoelástico acoplado. Para o estudo da existência e unicidade de solução utilizamos a teoria de semigrupos de operadores lineares em ambos os problemas. Nosso foco principal é obter a controlabilidade desses sistemas. Para o primeiro problema obtemos primeiramente a controlabilidade aproximada do sistema linear associado por meio de um resultado de C0-semigrupo devido a H. Leiva (ver [18]), o qual permite reduzir o problema de controlabilidade ao estudo da controlabilidade de uma família de sistemas de dimensão finita. Obtida a controlabilidade do problema linear, adaptamos um resultado de [19], onde foi estudado a controlabilidade aproximada de sistemas semilineares com impulso, para obter a controlabilidade aproximada do sistema semilinear. Para o segundo problema, estudamos a controlabilidade exata utilizando a técnica de multiplicadores para obter uma desigualdade de observabilidade motivados por [1], onde foi estudado o sistema com apenas uma temperatura. Para colocar o problema com duas temperaturas nos inspiramos em [31].

Abstract: The present thesis has as object of study two problems: 1o) a sixth order wave type semilinear equation, 2o) a coupled thermoelastic system. For the study of the existence and uniqueness of solution we use the theory of semigroups of linear operators in both problems. Our main focus is obtain the controllability of these systems. For the first problem firstly we get the approximate controllability of the associated linear system through of a C0-semigroup result due to H. Leiva (see [18]) which reduces the controllability problem to the study of the controllability of a family of finite dimension systems. Obtained the controllability of the linear problem we adapted a result of [19] where the approximate controllability of semilinear impulse systems was studied to get the approximate controllability of the semilinear system. For the second problem we study the exact controllability using the technique of multipliers to obtain an inequality of observability motivated by [1] where the system with only one temperature was studied. To pose the problem with two temperatures in the we inspired by [31].