Estabilidade orbital de soluções ondas viajantes periódicas para equações de Kawahara e Kawahara regularizada

Abstract

Esta tese teve como objetivo principal estabelecer condições suficientes para obtenção de estabilidade orbital de soluções tipo ondas viajantes de equações dispersivas tipo Benjamin-Bona-Mahony, de maneira simplificada. Em particular, estudamos a estabilidade de ondas associadas à equação de Kawahara regularizada, através de um critério simplificado, sem que fosse necessário conhecer-mos a matriz Hessiana associada a um certo funcional de Lyapunov, convenientemente definido a partir da equação envolvida. Seguimos os passos de [5] e [18] para resultados para obtenção da estabilidade orbital da solução tipo onda viajante da equação de Kawahara modificada regularizada, também sem que fosse necessário conhecer todas as entradas principais da matriz Hessiana. A boa- colocação das duas equações supracitadas, foi provada através de um resultado mais geral sobre o problema de Cauchy associado à equação de Kawahara generalizada regularizada, onde seguimos a abordagem de [6], [10] e [11]. Por fim, utilizamos as condições de estabilidade estabelecidas em [5], para obtenção da estabilidade orbital de soluções tipo ondas viajantes da equação de Kawahara modificada. As equações abordadas possuem solução com perfil dnoidal e os critérios de estabilidade foram satisfeitos analisado o espectro não positivo de um operador linearizado ao redor da onda, onde utilizados os critérios definidos em [9].

This thesis had as main goal to establish sufficient conditions to obtain orbital stability of traveling wave solutions of dispersive equations type Benjamin-Bona-Mahony, in a simplified manner. In particular, we studied the stability of waves associated with the regularized Kawahara equation, using a simplified criterion, without it being necessary to know the Hessian matrix associated with a certain Lyapunov functional, conveniently defined from the equation involved. We followed the steps of [5] and [18] for results to obtain the orbital stability of the traveling wave solution of the modified Kawahara equation, also without having to know all the main inputs of the Hessian matrix. The well-posedness of the two aforementioned equations was proven through a more general result on the Cauchy problem associated with the regularized generalized Kawahara equation, where we follow the [6], [10] and [11]. Lastly, we used the stability conditions established in [5], to obtain the orbital stability of traveling wave solutions of the modified Kawahara equation. The equations approached have a solution with a dnoidal profile and the stability criteria were satisfied by analyzing the non-positive spectrum of a linearized operator around the wave, using the criteria defined in [9].