Uma introdução ao cálculo fracionário e sua aplicação ao problema das equações de onda difusão tempo fracionárias

Abstract

O objetivo central deste trabalho é o estudo de um problema de valores iniciais e de fronteira para a equação diferencial fracionária de onda-difusão. Para tanto, desenvolvemos um estudo sobre a teoria do Cálculo Fracionário para compreender o sentido da derivada considerada no problema, além de também apresentar os principais resultados básicos desta teoria. Neste contexto ainda estudamos a transformada de Laplace, a ferramenta utilizada para a resolução da equação juntamente com o método de separação de variáveis. Torna-se essencial o uso das funções de Mittag-Leffler, portanto, definimos tais funções e calculamos a transformada de Laplace em exemplos específicos que tem relação direta com as funções de Mittag-Leffler e o PVIF. Ao final, aplicamos a teoria desenvolvida no estudo da equação diferencial fracionária já mencionada.

The main goal of this work is the study of an initial boundary value problem for fractional diffusion-wave equation. Therefore, we develop a study on the theory of Fractional Calculus to understand the meaning of the derivative considered in the problem, in addition to also presenting the main basic results of this theory. In this context, we still study the Laplace transform, the tool used to solve the equation by the separation of variables method. It is essential to use the Mittag-Leffler functions, therefore, we define these functions and calculate the Laplace transform in specific examples that are directly related to the Mittag-Leffer functions and the IBVP. In the end, we apply the developed theory in the study of the fractional differential equation mentioned.