Métodos variacionais e a estabilidade de ondas viajantes periódicas para equações do tipo Korteweg de-Vries e Benjamin-Bona-Mahony

Abstract

Nesta tese, tratamos a existência via métodos variacionais e estabilidade de soluções ondas viajantes periódicas associadas _a duas classes de equações dispersivas: equações do tipo Korteweg de-Vries e Benjamin-Bona-Mahony. Inicialmente, consideramos a equação massa-critica Korteweg de-Vries no caso focusing e mostramos resultados de estabilidade espectral de ondas periódicas positivas e de media zero. No caso das ondas periódicas positivas, mostramos que as ondas são espectralmente estáveis. Em relação as ondas de media zero, construímos soluções explicitas ate agora nunca estudadas e encontramos um valor limiar da velocidade da onda que nos fornece uma ruptura na estabilidade. Esse tipo de ruptura também _e obtida no nosso estudo da estabilidade/instabilidade espectral de ondas periódicas com perfil cnoidal para a equação de Gardner. Para o caso defocusing da equação massa-critica Korteweg de-Vries, estudamos a estabilidade orbital de ondas periódicas ímpares sem a necessidade de conhecê-las explicitamente. A estabilidade espectral para ondas periódicas de média zero associadas _a equação de Benjamin-Bona-Mahony com não linearidade quântica também foi determinada. Todavia, nosso estudo não encontrou um valor limite para a velocidade da onda e, neste caso, todas as ondas periódicas são espectralmente instáveis. Finalmente, nós apresentamos um estudo completo em relação a estabilidade espectral de ondas periódicas para a equação fracionaria Benjamin-Bona-Mahony. Em nossa abordagem, mostramos a unicidade da onda periódica obtida por um problema de minimização com vinculo e usamos essa informação para obter a estabilidade espectral em casos particulares. Numericamente, atestamos nossos resultados analíticos construindo ondas periódicas usando o método de Petviashvili e mostramos que as soluções numéricas são espectralmente estáveis. Nos casos onde temos a falta de unicidade, combinamos os métodos de Petviashvili e Newton para obter a existência de ondas periódicas e a correspondente estabilidade espectral.

In this thesis, we deal with the existence via variational methods and spectral stability of periodic traveling wave solutions associated to the two classes of dispersive equations, namely Korteweg-de Vries and Benjamin-Bona-Mahony type equations. First, we consider the focusing mass-critical Korteweg-de Vries to show spectral stability results for the positive and zero mean periodic waves. In the case of positive periodic waves, we see that they are spectrally stable. Concerning zero mean periodic waves, we build explicit periodic waves which are new in the current literature and detect the existence of a threshold value for the wave speed which gives us a rupture in the stability result. A threshold value and spectral stability/instability results have also been found for the cnoidal type waves associated with the Gardner equation. For the defocusing mass-critical Korteweg-de Vries, we determine the orbital stability without knowing an explicit pro_le for the periodic wave. The spectral stability for the zero mean periodic waves associated to the Benjamin-Bona-Mahony equation with quintic power nonlinearity has also been determined. However, we did not _nd a threshold value for the wave speed and, in this case, all periodic waves are spectrally unstable. Finally, we present a complete study concerning the spectral stability of periodic waves for the fractional Benjamin-Bona-Mahony type equations. In our approach, we show the uniqueness of the periodic wave obtained by a constrained minimization problem and we use this information to obtain the spectral stability in particular cases. Numerically, we attest our analytical results by constructing periodic waves using Petviashvili's method and we show that the numerical solutions are spectrally stable. In the cases where we have a lack of uniqueness, we combine Petviashvili and Newton's methods to obtain the existence of periodic minimizers and the corresponding spectral stability.