Solutions curve for control systems on Lie groups

Abstract

No contexto dos grupos de Lie, a Teoria de Controle se ocupa basicamente do estudo dos sistemas de controle invariantes, lineares, bilineares e afins. Para sistemas in- variantes - considerando que as funções de controle são constantes por partes - as soluções do sistema têm uma descrição já bem conhecida (veja [24]). Isto nos leva ao primeiro objetivo deste trabalho: obter uma descrição explícita das trajetórias para os outros sistemas sob a hipótese de que os campos lineares comutam. A descrição destas trajetórias é obtida como a curva integral de um campo vetorial invariante conveniente em um produto semidireto de um grupo de Lie por um espaço euclidiano (como em [9]). Em particular, consideramos o caso em que as derivações associadas aos campos lineares são internas (o que ocorre, por exemplo, em toda álgebra de Lie semissimples). Neste caso, as soluções são descritas de uma maneira consideravelmente mais simples e elegante. Deste ponto em diante, os resultados são aplicados à obtenção de novas proposições. Os resultados obtidos vão desde condições que relacionam a controlabilidade de sistemas de controle linear/afim com sistemas invariantes associados até o estudo de semiconjugação de sistemas por homomorfismos de grupos e propriedades de conjuntos estáveis.

In the context of Lie groups, Control Theory is primarily concerned with the study of invariant, linear, bilinear and affine control systems. For invariant systems - considering that the control functions are piecewise constant - the solutions of the system has a well known and good description (see [24]). This brings us to the first objective of this work: to give an explicit description of the solution curve for the other systems under the assumption that the linear vector fields commute. These solutions are obtained as the integral curve of a convenient invariant vector field on a semidirect product of a Lie group with an Euclidean space (just as in [9]). In particular, we consider the case where the derivations associated to the linear vector fields are inner (which occurs, for example, in every semi simple Lie algebra), in which case the solutions are described in a considerably simpler and more elegant way. Thenceforth, our achievements are applied to obtain new propositions. The results range from expressions that relate the controllability of linear/affine control systems with associated invariant ones to the study of system semiconjugation by Lie group homomorphisms and properties of stability sets.