Cohomologia e involuções que invertem grau em álgebras com bases elementares

Abstract

Resumo: Neste trabalho, apresentamos uma cohomologia para uma álgebra com base elementar, conforme feito em [5]. Um objetivo deste trabalho é relacionar o primeiro grupo de cohomologia do produto tensorial de duas álgebras com bases elementares aos primeiros grupos de cohomologia dessas álgebras. Considerando A e R álgebras com bases elementares B e S, respectivamente, é verificado que, se os primeiros grupos de cohomologia de A e de R são triviais, então o primeiro grupo de cohomologia do produto tensorial AR também o é. Além disso, é provado que, se o primeiro grupo de cohomologia de R é trivial e o conjunto elementar de idempotentes I de S é conexo, então o primeiro grupo de cohomologia de AR é isomorfo ao primeiro grupo de cohomologia de A e confrontamos esses resultados com o Teorema de Künneth, através de alguns exemplos. Além disso, supondo que o corpo base K é algebricamente fechado e de característica diferente de 2, investigamos as involuções que invertem grau na álgebra de matrizes Mn(K). Obtemos um resultado parcial se o grupo da graduação for arbitrário e uma classificação completa para grupos abelianos. Também, analisamos as involuções que invertem grau na álgebra das matrizes triangulares UTn(K), para grupos arbitrários.

Abstract: In this work, we present a cohomology for an algebra with elementary basis, as done in [5]. One purpose of this work is to relate the first cohomology group of the tensor product of two algebras with elementary basis to the first cohomology groups of these algebras. Considering A and R algebras with elementary basis B and S, respectively, it is verified that, if the first cohomology groups of A and of R are trivial, so is the first cohomology group of the tensor product A R. Moreover, it is proved that, if the first cohomology group of R is trivial and the elementary set of idempotents I of S is connected, then the first cohomology group of A R is isomorphic to the first cohomology group of A and we confront these results with the Künneth Theorem through some examples. Assuming that the base field K is algebraically closed of characteristic not 2, another purpose was to investigate the degree-inverting involutions on the matrix algebra Mn(K). We obtain a partial result if the grading group is arbitrary and a complete classification for abelian groups. We also analyze the degree-inverting involutions on the triangular matrix algebra UTn(K), for arbitrary groups