Estabilidade uniforme para sistemas com amortecimento viscoelástico

Abstract

Neste trabalho, estudamos a existência, unicidade e estabilidade de soluções para sistemas de equações de ondas lineares e semilineares com amortecimentos do tipo viscoelásticos. No primeiro problema, consideramos um sistema de equações de ondas acopladas com memória e provamos a boa colocação e estabilidade geral uniforme da energia. Para tanto, utilizaremos funcionais de Liapunov para construir uma perturbação adequada da energia. No segundo modelo, consideramos um sistema de Klein-Gordon não linear em um meio não-homogêneo e sujeito a duas dissipações, uma friccional e outra do tipo Kelvin-Voigt. Neste caso, mostramos que o problema está bem-posto e que a energia associada ao sistema decai exponencialmente para zero, para todos os dados iniciais tomados em conjuntos limitados do espaço de fase. Os ingredientes principais da prova da estabilidade são: um princípio de continuação 'única e argumentos de Análise Microlocal.

In this work, we study the existence, uniqueness and stability of solutions for linear and semilinear wave equations systems with viscoelastic damping. In the first problem, we consider a system of memory-coupled wave equations and prove the well posedness and uniform stability of the energy. To this end, we use Liapunov functionals to construct a proper perturbed energy. In the second model, we consider a non-linear Klein-Gordon system in a non-homogeneous medium and subject to two dissipations, one frictional and the other of Kelvin-Voigt type. In this case, we show that the problem is well-posed and the energy associated with the system decays exponentially to zero, for all initial data taken in limited sets of phase space. The main ingredients in the proof of stability are: a Unique Continuation Principle and Microlocal Analysis arguments.