Boa colocação e estabilidade para problemas hiperbólicos com amortecimento localizado : uma equação da viga extensível e um sistema de Klein-Gordon generalizado

Abstract

Neste trabalho, estudamos a boa colocação e comportamentos assintótico de soluções para dois problemas associados a modelos hiperbólicos semilineares com amortecimento localizado em domínios limitados. No primeiro modelo, consideramos a equação de uma viga semilinear com um amortecimento não linear localmente distribuído e provamos a boa colocação e a estabilidade uniforme do funcional de energia associado. Para fazer isso, construímos aproximações regularizantes adequadas e, a partir de uma desigualdade de observabilidade associada ao problema linear e uma propriedade de continuação única, obtemos o resultado desejado. No segundo problema, consideramos um sistema Klein-Gordon não linear agindo em um meio não-homogêneo e sujeito a um amortecimento localizado. Para esse sistema, mostramos a boa colocação e que a energia correspondente ao sistema decai exponencialmente para zero, para todos os dados iniciais tomados em conjuntos limitados do espaço de fase.

In this work, we study the well-posedness and asymptotic behavior of solutions to two problems associated with semilinear hyperbolic models with localized damping in limited domains. In the first model, we consider the equation of a semilinear beam with locally distributed nonlinear damping and prove the well-posedness and uniform stability of the associated energy functional. To do this, we construct suitable regularizing approximations and, from an observability inequality associated with the linear problem and a unique continuation property, we obtain the desired result. In the second problem, we consider a non-linear Klein- Gordon system acting in a non-homogeneous medium and subject to localized damping. For this system, we show the well-posedness and that the energy corresponding to the system decays exponentially to zero, for all initial data taken in bounded sets of phase space.