Control sets for bilinear and affine control systems on Rn

Abstract

In this thesis we presente our study of control sets with non void interior for homogeneous bilinear control systems and affine control systems definedon Rn; considering that the control range is a bounded set. For homogeneous bilinear control systems the control sets are characterized using the Lie álgebra rank condition for the induced system on projectives pace. This is based on a classic Diophantine approximation result. For affine control systems we start by studying the control sets around the equilibrium points, with more attention to the case where these sets are unbounded. Then, we started to consider periodic trajectories, so our study started to consider spectral properties. For hyperbolic systems, we prove that there is a unique control set with nonvoid interior, and if the system is uniformly hyperbolicthen it is bounded. For non hyperbolic systems we prove that every control set with a nonvoid interior is unbounded. We induce a system inprojectives pace and study some relation between control sets and chain control sets of na affine control system and its homogeneous part.

Nesta tese apresentamos nosso estudo sobre conjuntos controláveis com interior não vazio para sistemas de controle bilinear homogêneo e sistemas de controle afim definidos em Rn; considerando que a imagem de control e é um conjunto limitado. Para sistemas bilineares homogêneos os conjuntos controláveis são caracterizados usando a condição do posto da álgebra de Lie para o sistema induzido no espaço projetivo. Isto é baseado em um resultado clássico de aproximação Diofantina. Para sistemas de controle afim nós começamos estudando os conjuntos controláveis em torno dos pontos de equilíbrio, com maior atenção para o caso em que estes conjuntos são ilimitados. Em seguida, passamos a considerar trajetórias periódicas, assim nosso estudo passou a considerar propriedades espectrais. Para sistemas hiperbólicos, provamos que existe um único conjunto controlável com interior não vazio, e se o sistema for ainda uniformemente hiperbólico então este é limitado. E para sistemas não hiperbólicos nós provamos que todo conjunto controlável com interior não vazio é ilimitado. Nós induzimos um sistema no espaço projetivo e estudamos algumas relações entre conjuntos controláveis e conjuntos controláveis por cadeias de um sistema de controle afim e sua parte homogênea.