Diâmetro do grafo comutante de um grupo solúvel finito

Abstract

O grafo comutante ?(G) de um grupo G é o grafo que tem os elementos não centrais de G como seu conjunto de vértices e dois vértices distintos x e y são ligados por uma aresta sempre que eles comutam. O objetivo central desse trabalho é o estudo do grafo comutante de um grupo solúvel finito com centro trivial. Apresentamos a demonstração do resultado de C. Parker, o qual estabelece que se G é um grupo solúvel finito com centro trivial e ?(G) é conexo, então o diâmetro de ?(G) é no máximo 8. Tal estimativa encontrada é a melhor possível, já que existem grupos solúveis finitos com centro trivial cujos grafos comutantes são conexos e têm diâmetro exatamente 8. Também apresentamos o resultado de C. Parker que caracteriza os grupos solúveis finitos com centro trivial para os quais o grafo comutante é desconexo. Mais especificamente, ele mostrou que o grafo comutante de um grupo solúvel G com centro trivial é desconexo se, e somente se, G é um grupo de Frobenius ou um grupo 2-Frobenius. Finalizamos este trabalho apresentando uma generalização do resultado de C. Parker relativo ao diâmetro do grafo comutante estabelecida por N. F. Beike, R. Carleton, D. Costanzo, C. Heath, M. Lewis, K. Lu e J. Pearce.

The commuting graph ?(G) of a group G is the graph that has the non-central elements of G as its set of vertices and two distinct vertices x and y are connected by an edge whenever they commute. The main goal of this work is the study of the commuting graph of a finite solvable group with trivial center. We present the proof of C. Parker's result that states that if G is a finite solvable group with trivial center and ?(G) is connected, then the diameter of ?(G) is at most 8. Such estimate found is the best possible, since there are finite soluble groups with trivial center whose commuting graph is connected and its diameter is exactly 8. We also present the result by C. Parker that characterizes the finite soluble groups with trivial center for which the commuting graph is disconnected. More specifically, he showed that the commuting graph of a solvable group G with trivial center is disconnected if and only if G is a Frobenius group or a 2-Frobenius group. We end this work with the generalization of C. Parker's result concerning the diameter of the commuting graph presented by N. F. Beike, R. Carleton, D. Costanzo, C. Heath, M. Lewis, K. Lu and J. Pearce.