Propriedades de álgebras de incidência : produto de involuções e identidades polinomiais graduadas

Abstract

Neste trabalho, apresentamos algumas propriedades das chamadas álgebras de incidência. Em nosso contexto, nos restringimos as álgebras de incidência de um conjunto parcialmente ordenado finito X (com n elementos) sobre um corpo K e as denotamos por I(X). Tendo em vista que essas álgebras podem ser consideradas uma generalização das álgebras das matrizes triangulares superiores UTn(K), estendemos para I(X) alguns resultados obtidos por outros autores em UTn(K), fazendo adaptações aos resultados quando necessário. Encontramos um limitante superior para o número de involuções necessárias para decompor um elemento de I(X) com diagonais }1 em produto de involuções. Em nosso estudo, esse limitante depende de algumas características do conjunto parcialmente ordenado X, enquanto que, para matrizes triangulares superiores, esse valor e sempre 4. Além disso, estudamos os geradores das identidades polinomiais graduadas de I(X) quando K é um corpo de característica zero que, para graduações boas, coincide com o caso UTn(K). Finalmente, obtemos uma associa?c˜ao entre as graduações boas de I(X) por um grupo abeliano e uma sequência de elementos do grupo, com o intuito de estudar o expoente graduado de I(X). Esse, por sua vez, também coincide com o expoente graduado da 'álgebra das matrizes triangulares superiores.

In this work, we present some proprieties of incidence algebras. We consider incidence algebras of a finite partially ordered set X (with n elements) over a field K and denote them by I(X). Since these algebras can be viewed as a generalization of the upper triangular matrix algebra UTn(K), we extend to I(X) some results valid for UTn(K), making adaptations when it is necessary. We find an upper bound for the number of needed involutions in the decomposition of an element of I(X) with diagonal }1 into involutions. In this study, the upper bound depends on some characteristics of the partially ordered set X, while for upper triangular matrices this number is always 4. Moreover, we study the generators of graded polynomial identities of I(X) for charK = 0 and observe that they coincide with the generators of graded polynomial identities of UTn(K). Finally, we obtain an association between good gradings of I(X) by an abelian group and a sequence of elements of the group. This association is used for the study of I(X) graded exponent. The I(X) graded exponent also coincides with the upper triangular matrix graded exponent.