O teorema de Gauss-Bonnet

Abstract

Do ensino básico sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180o. Porém, existem triângulos cuja essa soma é maior ou menor do que este valor. Como isso é possível? Bom, esta afirmação sobre a soma dos ângulos internos de um triângulo nos é apresentada no contexto da Geometria Euclidiana, contudo, esta não é a única forma de geometria que possuímos. O objetivo deste trabalho é apresentar o Teorema de Gauss-Bonnet e algumas de suas aplicações. Este teorema é o responsável pela generalização do valor da soma dos ângulos internos de um triângulo. Este associa o valor da soma com a curvatura da superfície na qual o triângulo está inserido. Para o desenvolvimento deste trabalho, apresentamos os conceitos de curvas parametrizadas, superfícies parametrizadas regulares, formas fundamentais e geodésicas. Além disso, o texto possui figuras animadas para proporcionar uma melhor compreensão dos conceitos expostos. As animações também estão disponíveis online no site <https://www.geogebra.org/u/elainesturion>.

From basic education we know that the sum of the inner angles of a triangle is 180 degrees. However, there are triangles whose sum is greater or less than this value. How is this possible? Well, this statement about the sum of the inner angles of a triangle is presented to us in the context of Euclidean Geometry, but this is not the only form of geometry we have. The objective of this text is to present the Gauss-Bonnet Theorem and some of its applications. This theorem is responsible for generalizing the value of the sum of the internal angles of a triangle. This one associates the sum value with the curvature of the surface on which the triangle is inserted. For the development of this work, we present the concepts of parametrized curves, regular parametrized surfaces, fundamental forms and geodesic. In addition, the text has animated figures to provide a better understanding of the concepts exposed. Animations are also available online at <https://www.geogebra.org/u/elainesturion>.