Uma introdução ao estudo de funções complexas

Abstract

A presente dissertação tem como objetivo o estudo do conjunto dos números complexos com o propósito de apresentar algumas propriedades especiais de funções complexas. Fazendo inicialmente um resgate histórico do surgimento dos números complexos, que contou com a colaboração de grandes ícones matemáticos como Tartaglia, Cardano, Bombelli, Euler, Gauss, entre outros. Apresentamos as principais propriedades dos números complexos como base para a introdução ao estudo das funções complexas. Neste contexto enunciamos um dos principais teoremas da matemática, o chamado Teorema Fundamental da Algebra, em ' seguida exploramos algumas classes especiais de funções complexas, dentre elas, a exponencial, as trigonométricas, os logaritmos, potências complexas e as transformações de Mobius, estabelecendo semelhanças e diferenças entre o caso real e o caso complexo. Finalizamos com algumas aplicações que podem ser exploradas no ensino médio sob a perspectiva dos números complexos.

The aim of this dissertation is to study complex numbers with the purpose of presenting some special properties of complex functions. Initially with a historical rescue of complex numbers, that counted on the collaboration of great mathematical icons like Tartaglia, Cardano, Bombelli, Euler, Gauss, and others. We present the main properties of the complex numbers as basis for the study of complex functions. In this context we enunciate one of the main theorems of mathematics, the so-called Algebra Fundamental Theorem, and we explore some special classes of complex functions, among them, the exponential, trigonometrics, logarithms, powers functions and M¨obius Transformations, establishing similarities and differences between the real case and the complex case. We finish with some applications that can be explored in high school from the perspective of complex numbers.