Códigos quânticos topológicos sobre tesselações hiperbólicas semirregulares

Abstract

Um código quântico de superfície é aquele que utiliza tesselações sobre superfícies compactas e conexas como ferramenta para a construção do grupo estabilizador, visto que são casos particulares dos códigos estabilizadores. Esta construção oferece um tratamento geométrico à análise dos códigos estabilizadores assim obtidos. Tal tratamento geométrico possibilita a obtenção de um limitante inferior para a distância do código. Mais ainda, por serem também casos particulares de códigos topológicos, cada operador do grupo estabilizador atua numa pequena quantidade de qubits do espaço do código, o que permite a implementação de uma computação tolerante a falhas: Pode-se construir um hardware com uma determinada taxa de erros em cada componente sem que estes condenem o processamento como um todo. Como primeiro resultado deste trabalho, destacamos a construção de códigos de superfície provenientes de tesselações semirregulares estabelecidas sobre superfícies compactas, conexas e orientáveis cuja característica de Euler é negativa. Como se sabe, estas superfícies são canonicamente munidas de uma métrica hiperbólica e possuem curvatura negativa. Este fato nos permite obter uma infinidade de tesselações semirregulares, de qualquer valência, em detrimento das poucas possibilidades que o caso euclidiano permite. Os códigos coloridos, que são construídos de forma muito similar aos de superfície, porém substancialmente mais ricos em propriedades, também ganham aqui o seu tratamento a partir de tesselações semirregulares estabelecidas sobre superfícies compactas, conexas e orientáveis cuja característica de Euler é negativa. Assim como no caso construído com tesselações regulares, existe uma infinidade de tesselações semirregulares 3-valentes e 3-coloríveis. Cada uma destas nos fornece um código quântico colorido. Estes, por se tratarem de casos particulares de códigos topológicos, também compõem o escopo dos códigos quânticos corretores de erros que permitem uma computação tolerante à falhas.

A surface quantum code is one that uses tessellations on compact and connected surfaces as a tool for the construction of the stabilizer group, since these are particular cases of the stabilizer codes. This construction offers a geometric treatment for the analysis of the stabilizer codes thus obtained. Such geometric treatment makes it possible to obtain a lower bound for the code distance. Furthermore, as they are also particular cases of topological codes, it follows that each operator of the stabilizer group acts in a limited amount of code space qubits, which allows the implementation of fault-tolerant computing: that is, you can build hardware with a certain error rate in each component without them condemning the processing as a whole. As a first result of this work, we highlight the construction of surface codes from semi-regular tessellations established on compact, connected and orientable surfaces whose Euler characteristic is negative. As is known, these surfaces are canonically provided with a hyperbolic metric and have negative curvature. This fact allows us to obtain an infinity of semiregular tessellations, of any valence, to the detriment of the few possibilities that the Euclidean case allows. Color codes, which are constructed in a very similar way to surface codes, but substantially richer in properties, also gain their treatment here from the semi-regular tessellations established on compact, connected and orientable surfaces whose Euler characteristic is negative. As in the case constructed with regular tessellations, there are an infinity of 3-valent and 3-colorable semiregular tessellations. Each of these gives us a color quantum code. These, as they are specific cases of topological codes, also compose the scope of the error correcting quantum codes that allow a fault tolerant computation.