Estabilidade assintótica para a equação da onda e para o modelo da onda viscoelástica com história passada sobre domínios bidimensionais e com termos fonte de crescimentos exponenciais

Abstract

Neste trabalho, estudamos a boa colocação e o comportamento assintótico de soluções de dois problemas associados à equações da onda com termos fonte de crescimentos exponenciais e amortecimentos não lineares localmente distribuídos postos em domínios limitados do R2. No primeiro problema, discutimos a boa colocação global no espaço energético e decaimento uniforme da energia para o caso defocusing (+f(u)) e uma dicotomia entre existência global/decaimento uniforme e blow-up (para o caso do amortecimento total) para o caso focusing (?f(u)) para soluções com a energia menor que d (d é o nível do Teorema do Passo da Montanha). No segundo problema, consideramos uma equação da onda com amortecimento viscoelástico sujeita a um efeito viscoelástico localmente distribuído e suplementada com um amortecimento friccional localmente distribuído, no qual estudamos os mesmos comportamentos do problema anterior, com exceção do fenômeno de blow-up. Em ambos os casos, damos provas baseadas no truncamento dos problemas originais e as passagens aos limites, a m de obter de uma vez só, as identidades de energia bem como as Desigualdades de Observabilidade, os quais são os ingredientes essenciais para obtermos as taxas de decaimento uniforme das energias. Uma vantagem das nossas provas é que as taxas de decaimento são independentes dos termos fonte não lineares.

In this work, we study the well-posedness and asymptotic behavior of solutions for two problems associated with wave equations with exponential growth source terms and locally distributed nonlinear dampings posed in bounded domains of R2. In the first problem we discuss the globally well-posedness in the energy space and uniform decay of the energy to the defocusing case (+f(u)) and a dichotomy into global existence/uniform decay and blow-up (for full damping) to the focusing case (?f(u)) for those solutions with energy less than d (d is the level of the Mountain Pass Theorem). In the second one, we consider a viscoelastic damped wave equation subject to a locally distributed viscoelastic eect and supplemented with a locally distributed frictional damping in which we study the same behavior as in the previous problem except the blow-up phenomenon. In both cases we give proves based on the truncation of the original problems and passages to the limit in order to obtain in one shot, the energy identities as well as the Observability Inequalities, which are the essential ingredients to obtain uniform decay rates of energies. One advantage of our proves is that the decay rates are independent of the nonlinearities source terms.