Ondas periódicas para equações não-lineares do tipo Klein-Gordon e Schrödinger : existência e estabilidade orbital

Abstract

Nessa tese estudamos a estabilidade orbital para três modelos dispersivos: dois do tipo Klein-Gordon e uma do tipo Schrödinger. Em um primeiro momento, usando uma adaptação da teoria de Grillakis, Shatah e Strauss, estabelecemos que as soluções do tipo onda viajante com perfil cnoidal para a equação cúbica de Klein-Gordon (não-linear) são orbitalmente instáveis no espaço de Sobolev das funções periódicas com a propriedade de média zero. Posteriormente, determinamos que as soluções do tipo onda estacionária com perfil cnoidal associadas à equação não-linear quíntica de Klein-Gordon são orbitalmente instáveis no espaço de Sobolev periódico das funções pares e isso foi feito por meio do uso de um resultado de estabilidade linear devido a Shatah e Strauss. Por fim, fizemos um estudo completo de estabilidade orbital de ondas periódicas para a equação fracionária de Schrödinger. De modo que em um primeiro momento mostramos a existência de ondas periódicas com perfil single-lobe via um problema de minimização e mostramos ainda que tais minimizadores são únicos. Adicionalmente, mostramos a existência de soluções (explícitas) de ondas de pequena amplitude de modo que tais soluções também solucionam o problema de minimização. Ainda, realizando experimentos numéricos com o uso do Método de Iteração de Petviashvili fomos capazes de determinar o nosso resultado de estabilidade/instabilidade fazendo uso da teoria clássica de Grillakis, Shatah e Strauss e de uma ligeira adaptação (ao contexto periódico) de um resultado que consiste na construção de um funcional da Lyapunov adequado

In this thesis we study the orbital stability for three dispersive models: two Klein- Gordon type equation and one of Schrödinger type equation. In a first moment, using an adaptation of the theory of Grillakis, Shatah and Strauss, we establish that the travelling wave type solutions with a cnoidal profile for to the (nonlinear) cubic Klein-Gordon equation are orbitally unstable in the periodic Sobolev space of functions with the property of zero mean. Next, we determine that the standing wave solutions with a cnoidal profile associated with the nonlinear quintic Klein-Gordon equation are orbitally unstable in the periodic Sobolev space of even functions and this was done by using a linear stability result due to Shatah and Strauss. Finally, we perform a complete study of the orbital stability of periodic waves for the fractional Schrödinger equation. First we show the existence of periodic waves with singlelobe profile via a minimization problem and we show that such minimizers are unique. Additionally, we show the existence of (explicit) solutions of small amplitude waves and such solutions solve the minimization problem. Also, performing numerical experiments by using the Petviashvili Iteration Method we were able to determine our stability/instability result by using the classical theory of Grillakis, Shatah and Strauss and a slight adaptation (to the periodic context) of a result consisting of the construction of a suitable Lyapunov functional