Hamiltonian formalism in Remannian geometry

Abstract

Seja (M, ?·, ·?) uma variedade Riemanniana. O produto interno ?·, ·?p no espaco tangente TpM induz um isomorfismo Z : TpM ? T* pM entre o fibrado tangente e cotangente o qual e a transformada de Legendre da funcao Lagrangiana v 7? 1 2 ?v,v?p. Este isomorfismo se estende a transformada de Legendre entre o fibrado tangente TM e o fibrado cotangente T*M, e e usado para transferir elementos da geometria Riemanniana de TM para T*M. Neste trabalho estudamos as equacoes das geodesicas em T*M via o formalismo Hamiltoniano. Tambem estudamos a conexao Riemanniana, curvatura e campos de Jacobi em T*M. Finalmente, nos generalizamos um resultado contido no artigo [25] do Vladimir Kozlov. Em seu artigo, foi provado que um grupo de Lie G com uma metrica Riemanniana invariante a esquerda e unimodular se, e somente se, o fluxo Euler-Arnold preserva a medida de Haar na algebra de Lie g*. Nos provamos que este resultado e valido para a esfera Riemanniana de g*. Depois, consideramos g* com uma metrica Riemannian auxiliar e generalizamos o artigo do Koslov para grupos de Lie com uma estrutura de Finsler invariante a esquerda.

Let (M, ?·, ·?) be a Riemannian manifold. The inner product ?·, ·?p on the tangent space TpM induces a isomorphism Z : TpM ?T* pM between the tangent and cotangent spaces which is the Legendre transform of the Lagrangian v 7? 12 ?v,v?p. This isomorphism extends to the Legendre transform between the tangent bundle TM and the cotangent bundle T*M and we use it to transfer elements of Riemannian geometry from TM to T*M. In this work we study the geodesic equation on T*M through Hamiltonian formalism. We also study the Riemannian connection, curvature and Jacobi fields on T*M. Finally, we generalize a result contained in the paper [25] of Vladimir Kozlov. In his paper it was proved that the Lie group G with a left-invariant Riemannian metric is unimodular if and only if the Euler-Arnold flow preserve the Haar measure on the Lie algebra g*. We prove that this result holds also on the Riemannian sphere of g*. Afterwards we consider g* with an auxiliary Riemannian metric and we generalize the Kozlov paper for Lie groups with a leftinvariant Finsler structure