Existência e comportamento assintótico das soluções de um sistema acoplado do tipo onda-Petrowsky com história passada e não-linearidades supercríticas

Abstract

Neste trabalho, estudamos a existência bem como o comportamento assintótico do seguinte sistema acoplado de equações do tipo onda-Petrowsky utt ? ?u + h1(ut) + ?(x)v ? ?0 Z ? 0 g1(s)Au(t ? s) ds ? f1(u) = 0 em ? × (0, ?), vtt + ?2 v + h2(vt) + ?(x)u ? ?0 Z ? 0 g2(s)Bv(t ? s) ds ? f2(v) = 0 em ? × (0,?), definido em um domínio limitado ? de R 3 , onde hAu, wi = Z ? a(x)(??)?/2u (??)?/2w dx, ?u, w ? D((??)?/2 ), hBv, wi = Z ? b(x)(??)?/2 v (??)?/2w dx, ?v, w ? D((??)?/2 ), com 1/2 < ? ? 1 e 1 < ? ? 2. Definindo o conceito de poço de potencial, estabelecemos os resultados de existência de solução global e de decaimento uniforme de tais soluções. Além disso, obtemos os resultados de blow-up de solução quando a energia total inicial associada ao sistema é negativa e quando é não-negativa e limitada superiormente

In this work, we study the existence as well as the asymptotic behavior of the following coupled system of wave-Petrowsky equations utt ? ?u + h1(ut) + ?(x)v ? ?0 Z ? 0 g1(s)Au(t ? s) ds ? f1(u) = 0 em ? × (0, ?), vtt + ?2 v + h2(vt) + ?(x)u ? ?0 Z ? 0 g2(s)Bv(t ? s) ds ? f2(v) = 0 em ? × (0,?), defined on a limited domain ? of R 3 , where hAu, wi = Z ? a(x)(??)?/2u (??)?/2w dx, ?u, w ? D((??)?/2 ), hBv, wi = Z ? b(x)(??)?/2 v (??)?/2w dx, ?v, w ? D((??)?/2 ), with 1/2 < ? ? 1 and 1 < ? ? 2. Defining the concept of a potential well, we establish the results of the existence of a global solution and the uniform decay of such solutions. Furthermore, we obtain the solution blow-up results when the initial total energy associated with the system is negative and when it is non-negative and bounded from above