Existência e unicidade de soluções de equações diferenciais ordinária e aplicações em teoria de controle

Abstract

O objetivo principal desse trabalho é enunciar o princípio do máximo de Pontryagin em variedades diferenciáveis. Iremos começar nosso trabalho nos concentrando em condições para garantir a existência e unicidade de soluções no problema de valor inicial de uma equação diferencial ordinária. Depois disso introduziremos problemas variacionais em espaços vetoriais de dimensão finita, e mostraremos como as equações de Hamilton impõem uma restrição limitando as funções a serem candidatas à solução do problema variacional. Por fim apresentamos as variedades diferenciáveis e objetos como a 1-forma tautológica e a forma simplética em seu fibrado cotangente para que possamos, através do formalismo Hamiltoniano, enunciar o princípio do máximo de Pontryagin em variedades diferenciáveis.

The main objective of this work is to present the Pontryagin’s maximum principle on smooth manifolds. We will start our work focusing on conditions to guarantee the existence and uniqueness of solutions in the problem of initial value of an ordinary differential equation. After that, we will introduce variational problems in finite dimensional vector spaces, and show how the Hamilton equations will impose a restriction on the functions that are candidates for solving the variational problem. Finally we present the differentiable manifold and objects like the tautological 1-form and the symplectic form on their cotangent bundle so that we can, through Hamiltonian formalism, present the Pontryagin maximum principle on smooth manifolds.