Lie theory on some control problems = Teoria de Lie em alguns problemas de controle

Abstract

O grupo Lie Sl (n,H) e o grupo de Lie das matrizes n × n quaterniônicas tais que |det g| = 1. Nesta tese apresentamos condições para um subsemigrupo com interior nao-vazio, S ? Sl (n,H), coincidir com todo o grupo Sl (n,H). A partir disso, são determinadas condições sobre as matrizes A,B ? sl (n,H) para garantir a controlabilidade do sistema de controle invariante g? = Ag + uBg em Sl (n,H). Provamos também que essas condições são genéricas no sentido de que obtemos um conjunto aberto e denso de pares controláveis (A,B) ? sl (n,H)2. Posteriormente, a técnica do saturado de Lie e utilizada para estabelecer critérios de controlabilidade para sistemas de controle bilineares em Sl(n,C) e Sl(n,H), bem como em certos produtos semidiretos. Nosso estudo também emprega quatérnios para explorar conjuntos de controle invariantes para campos de vetores induzidos por SO(1, 4) e SU(1, 2) na esfera S3, variedade flag destes últimos. Ao longo desta tese, essas investigações aprofundam a compreensão das condições de controlabilidade para sistemas de controle em grupos Lie reais clássicos e suas características geométricas.

The Lie group Sl (n,H) is the Lie group of order n quaternionic matrices g such that |det g| = 1. This thesis establishes conditions for a subsemigroup with nonempty interior, S ? Sl (n,H), to coincide with the entire group Sl (n,H). From this, we set conditions on matrices A,B ? sl (n,H) ensuring controllability for the invariant control system g? = Ag + uBg on Sl (n,H). We also prove that these conditions are generic in the sense that we obtain an open and dense set of controllable pairs (A,B) ? sl (n,H)2. Subsequently, the Lie saturate technique is used to establish controllability criteria for bilinear control systems on Sl(n,C) and Sl(n,H), as well as on certain semidirect products. Our study also employs quaternions to explore invariant control sets for vector fields induced by SO(1, 4) and SU(1, 2) on the unit quaternion sphere S3, their flag manifold. Throughout this thesis, these investigations deepen the understanding of controllability conditions for control systems on classical real Lie groups and their geometric characteristics.