Um estudo de códigos abelianos sobre anel de cadeia a partir de elementos idempotentes

Abstract

Neste trabalho estudaremos um método para encontrar os elementos idempotentes de um anel comutativo R a partir dos elementos idempotentes do anel quociente R N , onde N pertence a uma cole,c˜ao de ideais satisfazendo certas hipóteses. O método citado, chamado de levantamento de idempotentes, servira como ferramenta para encontrar os elementos idempotentes de um anel de grupo RG, onde R e um anel de cadeia finito comutativo com unidade e G 'e um grupo abeliano finito. Com os elementos idempotentes de RG e o gerador do ideal maximal de R caracterizaremos os códigos abelianos de tal anel de grupo e, tomando algumas hipóteses adicionais, exibiremos uma fórmula para determinar o peso de um código cíclico de comprimento pn. Por fim, usaremos a teoria de elementos idempotentes para identificar os códigos LCD sobre uma álgebra de grupo RG, para o caso onde R 'e um anel comutativo com unidade arbitrário.

In this work we will study a method to find the idempotent elements of a commutative ring R from the idempotent elements of the quotient ring R N , where N belongs to a collection of ideals satisfying certain assumptions. The aforementioned method, called idempotent lifting, will be used as a tool to find the idempotent elements of a group ring RG, where R is a commutative finite chain ring with unity and G is a finite abelian group. With the idempotent elements of RG and the generator of the maximal ideal of R we will characterize the abelian codes of such a group ring and, taking some additional assumptions, we will obtain a formula to determine the weight of a cyclic code of length pn. Finally, we will use the theory of idempotent elements to identify the LCD codes on a group algebra RG, for the case where R is an arbitrary commutative ring with unity.