Conjugação topológica de fluxos

Abstract

Neste trabalho, apresentaremos resultados relacionados à conjugação e equivalência topológica para alguns tipos de sistemas dinâmicos. Começaremos com o sistema dinâmico contínuo em Rn, depois passaremos pelo discreto em Rn e por fim, um tipo de sistema dinâmico contínuo em um grupo de Lie. Como resultado principal deste estudo, provaremos que, se A e B são matrizes hiperbólicas, então os fluxos associados a xn+1 = Axn e xn+1 = Bxn são topologicamente conjugados se, e somente se, os subespaços estáveis de A e B possuem as mesmas dimensões. No caso contínuo, o principal resultado mostra que se A,B ? gl(d,R) são matrizes hiperbólicas, então os fluxos de ? x= Ax e ? y= Bx são topologicamente conjugados se, e somente se, os subespaços estáveis de A e B tem as mesmas dimensões. No caso discreto, provamos que se A,B ? gl(d,R) são contrações na mesma componente conexado conjunto de contrações, então os fluxos de xk+1 = Axk e de yk+1 = Byk são topologicamente conjugadas. Por fim, no contexto de grupos de Lie, mostramos que sistemas dinâmicos contínuos em um grupo de Lie, nilpotente e simplesmente conexo, dados por campo sem sua álgebra, tem sempre domínio fundamental, estes os quais são sempre homeomorfos, e assim, provamos que seus fluxos são sempre topologicamente conjugados.

In this work, we will present results related to conjugation and topological equivalence for some types of dynamic systems. We will star with the continuous dynamical system in Rn, then we will go through the discrete dynamical system in Rn, and finally, a type of continuous dynamical in a Lie group. As the main result of this estudy, we will prove that, if A and B are hyperbolic matrices, then the flows associated with xn+1 = Axn and xn+1 = Bxn are topologically conjugate, if and Only if, the stable subspaces of A and B have the same dimensions. In the continuous case,themainresultshowsthat A,B ? gl(d,R) are hyperbolic matrices, then the flows ? x= Ax e ? y= Bx are topologically conjugated,if and Only if, the stable subespaces of A and B has the same dimensions. In the discrete case, weprovethatif A,B ? gl (d,R) are contractions in the same connected componente of the set of contractions, then the flows of xk+1 = Axk and of yk+1 = Byk are topologically conjugated. Finally, in the contexto of Lie groups, we showthat continuous dynamical systems in a Liegroup,nilpotente and Simply connected, given by Fields in their algebra, Always have fundamental domains, which a real ways homeomorphic, and thus, we prove that their flows are Always topologically conjugated..