Sobre a estabilidade exponencial de dois modelos viscoelásticos

Abstract

Alguns fenômenos temporais podem ser modelados por meio de equações diferenciais parciais de evolução. Para estudar a estabilidade desses fenômenos, é importante que o modelo apresente mecanismos de amortecimento, sejam eles inseridos de forma externa ou advindos do material de referência. Nesta tese estudaremos duas equações diferenciais parciais de evolução cujos mecanismos de amortecimento são dados por termos de memória. O primeiro problema abordado e uma equação semilinear de Moore-Gibson-Thompson (MGT) sujeita 'a efeitos viscoelásticos a qual pode ser deduzida a partir da equação MGT original considerando um termo de relaxação molecular [16]. O segundo problema a ser considerado, descreve o comportamento das vibrações de uma viga composta de material viscoelástico sob as hipóteses de Timoshenko [68, 69]. Neste caso, os termos de memória agem tanto na força de cisalhamento, quanto no momento fletor e podem ser implementados no sistema de Timoshenko por meio da teoria de viscoelasticidade linear proposta por Boltzmann [6, 7]. Por essa razão, chamaremos esse sistema de Timoshenko-Boltzmann.

Some temporal phenomena can be modeled using evolutionary partial differential equations. To study the stability of these phenomena, the model should be subjected damping mechanisms, whether they come from an external force or they come from the material. In this thesis, we study two evolutionary PDEs whose damping mechanisms are given by memory terms. The first problem is a semilinear Moore-Gibson-Thompson (MGT) equation in the presence of a memory, them which can be deduced from the original MGT by considering a molecular relaxation term [16]. The second one describes the behavior of vibrations of a beam composed by viscoelastic material under Timoshenko's hypotheses [68, 69]. In this case, the memory terms act on both shear force and bending moment and they can be implemented in Timoshenko systems through the linear viscoelasticity theory proposed by Boltzmann [6, 7]. For this reason, this system is called Timoshenko-Boltzmann system.