Controllability of discrete-time linear systems on Lie groups = Controlabilidade em sistemas lineares a tempo discreto em grupos de Lie

Abstract

Neste trabalho vamos apresentar alguns resultados sobre controlabilidade em sistemas lineares a tempo discreto em grupos de Lie. A definição utilizada de sistema linear e a concebida por Colonius, Santana e Cossich (ver [12]). Denotando por G um grupo de Lie de dimensão n, o principal objetivo desta tese e demonstrar algumas condicoes de controlabilidade para os casos em que G e solúvel e também quando G tem centro finito semisimples. Além disso, encontramos também condições suficientes para controlabilidade do sistema linear no grupo afim Aff2(R) através das propriedades do automorfismo associado ao sistema. Considerando o grupo de Lie SL2(R), usando o fato de todo automorfismo ser interno, construímos a classe de sistemas lineares nesse grupo e encontramos condições para controlabilidade. Por fim, também provamos a existência e unicidade de conjuntos de controle por cadeias com interior não-vazio no grupo afim Aff2(R) para o caso em que o conjunto dos pontos alcançáveis do sistema tem interior vazio, usando conjuntos de controle também de interior vazio.

In this work, we study controllability of discrete-time linear systems on Lie groups following the contruction provided by Colonius, Cossich, and Santana (see [12]). More specifically, denoting by G an n?dimensional connected Lie group, one of the objectives of this dissertation is to prove certain conditions for controllability of discretetime linear systems when G is solvable and when G has a finite semisimple center. Additionally, we have constructed all the linear systems on the affine two-dimensional Lie group Aff2(R) and have identified sufficient conditions for controllability associated with the linear automorphism of the system. Furthermore, for the Lie group SL2(R), leveraging the fact that every automorphism is inner, we provided conditions for controllability for a important class of discrete-time linear system on this group. Finally, we have determined conditions for the existence and uniqueness of chain control sets with a non-empty interior in Aff2(R) when the reachable sets also have an empty interior, utilizing control sets with an empty interior.