Estabilidade de soluções de equilíbrio para uma equação do calor logarítmica em álgebras de Banach comutativas

Abstract

Este trabalho busca estudar a estabilidade de soluções de equilíbrio de uma equação do calor não linear com não linearidade do tipo logarítmica, em que a incógnita da equação é uma função que toma valores em uma álgebra de Banach comutativa X. Para isso, consideramos inicialmente o caso X = R e verificamos a existência de uma classe de soluções de equilíbrio que decaem a zero no infinito. Provamos a instabilidade destas soluções no caso real utilizando duas abordagens: uma delas algébrica e a outra analítica. A primeira delas consiste na análise espectral do operador linear associado ao equilíbrio. A segunda abordagem consiste na análise do comportamento de uma curva de soluções da equação que passa pela solução de equilíbrio. A última abordagem nos garante a instabilidade de qualquer solução de equilíbrio não trivial. Após isso, analisamos o caso geral, isto é, o caso em que X é uma álgebra de Banach comutativa qualquer. Nesse caso, obtemos uma classe análoga de equilíbrios e para essas soluções, realizamos a análise espectral do operador linearizado no equilíbrio, obtendo a instabilidade linear das soluções. De modo análogo ao caso real, provamos também a instabilidade para uma solução de equilíbrio qualquer.

This work seeks to study the stability of equilibrium solutions of a nonlinear heat equation with logarithmic nonlinearity, in which the unknown of the equation is a function that takes values in a commutative Banach algebra X. To do this, we initially consider the case X = R and verify the existence of a class of equilibrium solutions that decay to zero at infinity. We prove the instability of these solutions in the real case using two approaches: one of them algebraic and the other analytical. The first approach consists in the spectral analysis of the linear operator associated with the equilibrium. The second approach consists of analyzing the behavior of a curve of solutions of the equation passing through the equilibrium solution. The last approach guarantees the instability of any non-trivial equilibrium solution. After that, we analyze the general case, that is, the case in which X is any commutative Banach algebra. In this case, we obtain an analogous class of equilibriums and for these solutions, we do the spectral analysis of the linearized operator in the equilibrium, obtaining the linear instability of the solutions. Similarly to the real case, we also prove the instability for any equilibrium solution.