Estabilidade orbital e espectral de ondas periódicas para equações não-lineares do tipo Schrödinger

Abstract

Esta tese aborda o estudo da estabilidade de soluções periódicas do tipo onda estacion ária de três diferentes modelos da equação de Schrödinger não-linear. Primeiramente, construindo um funcional de Lyapunov restrito ao espaço das funções de média nula, estabelecemos que as soluções periódicas do tipo onda estacionária com per_l cnoidal que satisfazem a equação de Schrödinger com não-linearidade cúbica são orbitalmente estáveis no espaço de Sobolev das funções periódicas com a propriedade de média nula. Num segundo momento, aplicando um resultado abstrato provido por Shatah e Strauss, somos capazes de provar que as soluções do tipo onda estacionária com per_l cnoidal que satisfazem a equação de Schrödinger com não-linearidade quíntica são orbitalmente instáveis num espaço de Sobolev periódico constituído por funções pares. Finalmente, utilizando a teoria de estabilidade espectral via assinatura de Krein provida por Kapitula, Kevrekidis e Sandstede, mostramos resultados de estabilidade espectral para as soluções múltiplas do tipo onda estacionária com per_l dnoidal/cnoidal que satisfazem um sistema de duas equações do tipo Schrödinger com não-linearidade cúbica.

This thesis approaches the study of stability of periodic standing wave solutions of three di_erent models of the non-linear Schrödinger equation. First, by constructing a Lyapunov functional restricted to the space of zero-mean functions, we establish that periodic standing wave solutions with a cnoidal pro_le that satisfy the Schrödinger equation with cubic nonlinearity are orbitally stable in the Sobolev space of periodic functions with the property of zero mean. Secondly, applying an abstract result provided by Shatah and Strauss, we are able to prove that the standing wave solutions with a cnoidal pro_le that satisfy the Schrödinger equation with quintic nonlinearity are orbitally unstable in a periodic Sobolev space constituted by even functions. Finally, using the theory of spectral stability via Krein signature provided by Kapitula, Kevrekidis and Sandstede, we show spectral stability results for multiple solutions of the standing wave type with dnoidal/cnoidal pro_le that satisfy a system of two Schrödinger type equations with cubic nonlinearity.