Representação de Schmidt de operadores bilineares completamente contínuos entre espaços de Banach

Abstract

Edmunds e Evans, em [5], obtém representação análoga a representação de Schmidt para um operador compacto T : X ? Y quando X e Y são espaços de Banach reflexivos, estritamente convexos e com duais estritamente convexos. Ainda, Silva et al., em [27], definem a representação de Schmidt para um operador bilinear T : H1 × H2 ? K, onde H1, H2 e K são espaços de Hilbert separáveis sobre o corpo dos números reais, definem os autovalores ordenados de um operador T : H1 × H2 ? K bilinear e provam que se T e compacto, tal que satisfaz o metodo da ordenação dos autovalores, então T tem uma representação de Schmidt. Com base em James, [12], e em Alber, [1], Edmunds e Evans fazem uso do conceito da ortogonalidade no sentido de James para suplementar o problema da não existência de produto interno entre espaços de Banach não Hilbert. Temos que esse conceito não se estende naturalmente para o produto cartesiano entre espaços de espaços de Banach, bem como o subespaco anulador de subespacos do produto cartesiano entre espaços de Banach. Nesse sentido, apresentamos definições e obtemos resultados necessários para expressar uma representação análoga a obtida por Silva et al. para operadores bilineares completamente contínuos T : X × Y ? Z, onde X, Y e Z são espaços de Banach sobre o corpo dos números reais, uniformemente convexos e uniformente suaves. Mostramos também que tal representação pode ser obtida fazendo uso da teoria do produto tensorial entre espaços vetoriais. Por fim, baseado em Ruch, [23], apresentamos condições explícitas para que um operador T : X ×Y ? Z, com X, Y e Z espaços de Banach uniformemente convexos e uniformemente suaves seja infinito-nuclear.

Edmunds and Evans, in [5], obtain a representation analogous to the Schmidt representation for a compact operator T : X ? Y when X and Y are reflexive Banach spaces, strictly convex and with strictly convex duals. Furthermore, Silva et al., in [27], define the Schmidt representation for a bilinear operator T : H1 × H2 ? K, where H1, H2 and K are separable Hilbert spaces over the field of real numbers, define the ordered eigenvalues of a bilinear operator T : H1 × H2 ? K and prove that if T is compact, such that it satisfies the eigenvalue ordering method, then T has a Schmidt representation. Based on James, [12], and Alber, [1], Edmunds and Evans make use of the concept of orthogonality in James's sense to supplement the problem of non-existence of inner product between non-Hilbert Banach spaces. We have that this concept does not extends naturally to the cartesian product between spaces of Banach spaces, as well as the subspace-eliminator of subspaces of the cartesian product between spaces of Banach. In this sense, we present definitions and obtain results necessary for express a representation analogous to that obtained by Silva et al. for bilinear operators completely continuous T : X × Y ? Z, where X, Y and Z are Banach spaces over the field of real numbers, uniformly convex and uniformly smooth. We show also that such representation can be obtained using tensor product theory between vector spaces. Finally, based on Ruch, [23], we present explicit conditions for an operator T : X × Y ? Z, with X, Y and Z Banach spaces uniformly convex and uniformly smooth is infinite-nuclear.