On the initial-boundary value problem for the time-fractional wave equation with acoustic boundary conditions and related multi-order fractional ordinary differential equation systems = Sobre o problema de valor inicial e de fronteira para a equação da onda tempo-fracionária com condições de fronteira da acústica e sistemas de equações diferenciais ordinárias fracionárias de ordens múltiplas relacionados

Abstract

Esta tese investiga um novo problema de valor inicial e de contorno para a equação de onda tempo-fracionária (no sentido de Caputo) com condições de fronteira da acústica. Uma contribuição central está na extensão de teoremas clássicos da teoria das equações diferenciais ordinárias: apresentamos generalizações dos teoremas de Picard-Lindelöf e Carathéodory para sistemas fracionários de ordens múltiplas, estabelecendo resultados de existência e unicidade. Também desenvolvemos resultados auxiliares sobre regularidade e desigualdades integrais envolvendo derivadas fracionárias de normas de funções reais e vetoriais, preenchendo lacunas existentes na literatura. O principal resultado é a demonstração da boa colocação para a equação de onda tempo-fracionária com condições de fronteira da acústica, baseada em uma aplicação inédita do método de Faedo-Galerkin no contexto do cálculo fracionário.

This thesis investigates a novel initial-boundary value problem for the time- fractional wave equation (in the Caputo sense) with acoustic boundary conditions. A key contribution lies in extending classical theorems from the theory of ordinary differential equations: we present generalizations of the Picard-Lindelöf and Carathéodory theorems for multi-order fractional systems, establishing existence and uniqueness results. We also develop auxiliary results on regularity and integral inequalities involving fractional derivatives of norms of real- and vector-valued functions, addressing gaps in the existing literature. The main achievement is the proof of well-posedness for the time-fractional wave equation with acoustic boundary conditions, based on a novel application of the Faedo-Galerkin method within the framework of fractional calculus.